В 1972 году окончил Военно-медицинскую академию имени С. М. Кирова (Санкт-Петербург).
В 1979 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата медицинских наук на тему «Холецистостомия при остром холецистите в пожилом и старческом возрасте».
В 1980 году Стойко с отличием окончил факультет руководящего медицинского состава по циклу «Хирургия», после чего был назначен на должность начальника хирургического отделения Кронштадтского военного госпиталя. С 1983 года начал работать в Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова.
В 1989 году он защитил докторскую диссертацию на тему «Послеоперационные рецидивы варикозной болезни».
В 2002 году Ю. М. Стойко стал главным хирургом Национального медико-хирургического центра имени Н. И. Пирогова Минздрава России и с этого же времени — главным хирургом Центрального федерального округа Российской Федерации. Одновременно с этим с 2003 года Стойко заведует кафедрой хирургии с курсом травматологии и ортопедии Института усовершенствования врачей Национального медико-хирургического центра имени Н. И. Пирогова.
Является автором многочисленных печатных работ, руководств и методических пособий по хирургии. Под руководством Юрия Михайловича защищено 12 кандидатских и 4 докторских диссертации.