В 1980 году окончил Второй Московский медицинский институт им. Н. И. Пирогова. С 1982 года работает кардиохирургом в Научном Центре сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева РАМН.
В 1999 году защитил докторскую диссертацию на тему: «Хирургическое лечение больных ИБС с поражением брахицефальных артерий».
Михаилу Михайловичу принадлежат более 260 научных публикаций, в том числе 4 монографии.
Область научно-практических интересов включает в себя: операции на коронарных сосудах, сочетанные операции на коронарных и брахиоцефальных артериях, эндартерэктомия, применение вспомогательных технологий в хирургии ИБС.
Профессор Алшибая помимо медицинской деятельности, является большим знатоком искусства, организует выставки современной живописи и создает инсталляции на тему сердца. Коллекционирует картины современных русских художников, нонконформистскую и метафизическую живопись, графику.
